BW2,3・恐ホタ・A8

 8月8日水曜日、雨。

 イルミネーションスターズとアンティーカのCDを聞く。バベルシティ・グレイスフルサイズラブ。しかし聞き分けがちゃんとできない。

 なんとしても正午には間に合う必要があったので床で寝た。

 『恐竜はホタルを見たか』を読む。答えは(白亜紀の恐竜たちは)「見た」で、特に今より緑色側に光っていただろうということだった。昆虫食で夜行性の初期の哺乳類に対する陸生ホタルの幼虫の警告の意味合いが強かっただろうとも。
 オワンクラゲは自力でルシフェリン(系統に関わらず蛍光タンパク質を総称してこう呼ぶが、オワンクラゲから最初に見つかったものは特に腔腸動物:セレンテレートから「セレンテラジン」と名付けられた)を作れないという記述に衝撃を受ける。コペポーダ:カイアシ類が生成したものを利用しているというのが著者の仮説。
 発光生物がどれだけありふれているか強調するためかしばしばバイオマスに言及するのが面白かった。バイオマス的に「最も成功している」と表現されているナンキョクオキアミが気になる。

 顕微鏡を2時間近く覗いたら体力が全部目から流れていった。不得意。

 88(ハチハチ)した日だったので8次交代群A8について少し。位数20160のこの群は、PSL(4,2) (標数2なのでPもSもあまり意味はないが)と同型になるという異常な性質を持つ。Exceptionalとかaccidentalだと妙に穏当な気がしてしまうので「異常な」と表現しがち。

 PSL(4,2)の射影直線への作用の置換の型を調べるプログラム。

ソースコード

import numpy as np


def permtype(A):
    t = []
    check =np.zeros(16)
    for i in range(1,16):
        if(check[i]==0):
            l=1
            j = A[i-1]
            while(j!=i):
                check[j]=1
                j = A[j-1]
                l+=1
            t.append(l)
    t = sorted(t)
    return('+'.join(map(str,t)))

N = 2**16
count=0

C={}

for i in range(N):
    b = list(format(i,'016b'))
    B = np.reshape(b,(4,4)).astype(int)
    det=(np.linalg.det(B))%2
    if(det!=0):
        count+=1
        p = []
        for j in range(1,16):
            v = np.array(list(format(j,'04b'))).astype(int)
            w = (B.dot(v))%2
            p.append(int('0b'+''.join(map(str,w.tolist())),2))
        s = permtype(p)
        if(s not in C.keys()):
            C[s] = 1
        else:
            C[s] += 1            

print(C)
print(count)

結果

{'1+1+1+2+2+2+2+2+2': 210, '1+2+3+3+6': 3360, '1+2+4+4+4': 2520, '1+1+1+2+2+4+4': 1260, '3+6+6': 1680, '5+5+5': 1344, '15': 2688, '1+7+7': 5760, '3+3+3+3+3': 112, '1+1+1+3+3+3+3': 1120, '1+1+1+1+1+1+1+2+2+2+2': 105, '1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1': 1}
20160

15次対称群の元としての置換の型とその元の数が列挙された。共役類と1対1対応はしないけれどA8とだいたいどういうふうに移り合うかが分かる。

 よく考えたら、15次対称群に7次対称群は埋め込めなさそうだぞとこのあいだ言っていたが、それよりもっと過激な現象がここで起こっていることになる。位数以外似ても似つかないA8とPSL(4,2)の同型をいちばん自然に理解するにはどうすればよいのだろう。

 シャニマスのイベントが明日15時まで。小宮果穂さんでWING出場まで進んで敗退。しかしイベントカード4凸分のポイントは貯まった。つくづく親切なイベント設計だと思う。