休日図書館・中華・CT

 8月4日土曜日、晴れ。
 
 院生特権で休日閉館の部局図書館に入る。別に悪いことをしているわけではないけど他に誰もいなくて若干怖々と。
 
 書籍部で『群の表示』、『蝿たちの隠された生活』、『恐竜はホタルを見たか』の三冊を買う。
 『恐竜はホタルを見たか』、実際に語られている内容の中から一番エモい部分を引き出してくるというタイプの書名だと思うけどそれにしても良い。以前から気になっていた。少し前に地球ドラマチックで発光生物の話を見たのも関係している。岩波科学ライブラリーの生物系のタイトルをいずれ全部読みたいという夢。
 
 昼食は友人と中華料理店へ。カリフラワーと鶏肉炒め。いわゆる夏学の準備で大変だという話を聞いた。自分はいったい……?
 
 GAP。ネタバレとかなんとか言わずに指標表を見る。

gap> Display(CharacterTable(PSL(2,31)));
CT1

      2  5   .   .  5   4   4  4  4   4  4   4   .   .  .   .  .  .   .
      3  1   .   .  .   .   .  .  .   .  .   .   1   1  1   1  1  1   1
      5  1   .   .  .   .   .  .  .   .  .   .   1   1  1   1  1  1   1
     31  1   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   .   .  .   .  .  .   .

        1a 31a 31b 2a 16a 16b 8a 8b 16c 4a 16d 15a 15b 5a 15c 3a 5b 15d
     2P 1a 31a 31b 1a  8b  8b 4a 4a  8a 2a  8a 15b 15c 5b 15d 3a 5a 15a
     3P 1a 31b 31a 2a 16c 16d 8b 8a 16b 4a 16a  5a  5b 5b  5a 1a 5a  5b
     5P 1a 31a 31b 2a 16d 16c 8b 8a 16a 4a 16b  3a  3a 1a  3a 3a 1a  3a
     7P 1a 31a 31b 2a 16b 16a 8a 8b 16d 4a 16c 15d 15a 5b 15b 3a 5a 15c
    11P 1a 31b 31a 2a 16d 16c 8b 8a 16a 4a 16b 15c 15d 5a 15a 3a 5b 15b
    13P 1a 31b 31a 2a 16c 16d 8b 8a 16b 4a 16a 15b 15c 5b 15d 3a 5a 15a
    17P 1a 31b 31a 2a 16a 16b 8a 8b 16c 4a 16d 15b 15c 5b 15d 3a 5a 15a
    19P 1a 31a 31b 2a 16c 16d 8b 8a 16b 4a 16a 15c 15d 5a 15a 3a 5b 15b
    23P 1a 31b 31a 2a 16b 16a 8a 8b 16d 4a 16c 15d 15a 5b 15b 3a 5a 15c
    29P 1a 31b 31a 2a 16c 16d 8b 8a 16b 4a 16a 15a 15b 5a 15c 3a 5b 15d
    31P 1a  1a  1a 2a 16a 16b 8a 8b 16c 4a 16d 15a 15b 5a 15c 3a 5b 15d

X.1      1   1   1  1   1   1  1  1   1  1   1   1   1  1   1  1  1   1
X.2     15   A  /A -1   1   1 -1 -1   1 -1   1   .   .  .   .  .  .   .
X.3     15  /A   A -1   1   1 -1 -1   1 -1   1   .   .  .   .  .  .   .
X.4     30  -1  -1 -2   .   .  2  2   . -2   .   .   .  .   .  .  .   .
X.5     30  -1  -1 -2   B   B  .  .  -B  2  -B   .   .  .   .  .  .   .
X.6     30  -1  -1 -2  -B  -B  .  .   B  2   B   .   .  .   .  .  .   .
X.7     30  -1  -1  2   C  -C -B  B   D  .  -D   .   .  .   .  .  .   .
X.8     30  -1  -1  2   D  -D  B -B  -C  .   C   .   .  .   .  .  .   .
X.9     30  -1  -1  2  -D   D  B -B   C  .  -C   .   .  .   .  .  .   .
X.10    30  -1  -1  2  -C   C -B  B  -D  .   D   .   .  .   .  .  .   .
X.11    31   .   . -1  -1  -1 -1 -1  -1 -1  -1   1   1  1   1  1  1   1
X.12    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .  -1  -1  2  -1 -1  2  -1
X.13    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   E  *E *E   E  2  E  *E
X.14    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .  *E   E  E  *E  2 *E   E
X.15    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   F   I  E   H -1 *E   G
X.16    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   G   F *E   I -1  E   H
X.17    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   H   G  E   F -1 *E   I
X.18    32   1   1  .   .   .  .  .   .  .   .   I   H *E   G -1  E   F

A = E(31)+E(31)^2+E(31)^4+E(31)^5+E(31)^7+E(31)^8+E(31)^9+E(31)^10+E(31)^14+E(31)^16+E(31)^18+E(31)^19+E(31)^20+E(31)^\
25+E(31)^28
  = (-1+Sqrt(-31))/2 = b31
B = -E(8)+E(8)^3
  = -Sqrt(2) = -r2
C = -E(16)+E(16)^7
D = -E(16)^3+E(16)^5
E = E(5)^2+E(5)^3
  = (-1-Sqrt(5))/2 = -1-b5
F = E(15)^7+E(15)^8
G = E(15)^4+E(15)^11
H = E(15)^2+E(15)^13
I = E(15)+E(15)^14

いくつか体を変えながら見ると傾向ははっきりしていて、PSL(2,p)には互いに複素共役な(p±1)/2次元表現が2つ、p±1次元表現たくさん、p次元表現1つがあることが予想できる。どういう一般論があるんだこれは。

しかし行列のサイズを変えても(時間はかかるものの)ちゃんと出力してくれるので驚くほかない。

ついでにマシュー群の指標表も難なく出してくれる。M24だと大きさの割に出力が速いのでこれは計算済みのデータかも。

gap> Display(CharacterTable(MathieuGroup(12)));
CT2

      2   6  6  5  3  5  3   .   .  4  1   1  2  2  1  1
      3   3  1  .  .  .  .   .   .  1  .   .  2  1  3  1
      5   1  .  .  .  .  .   .   .  1  1   1  .  .  .  .
     11   1  .  .  .  .  .   1   1  .  .   .  .  .  .  .

         1a 2a 4a 8a 4b 8b 11a 11b 2b 5a 10a 3a 6a 3b 6b
     2P  1a 1a 2a 4a 2a 4b 11b 11a 1a 5a  5a 3a 3a 3b 3b
     3P  1a 2a 4a 8a 4b 8b 11a 11b 2b 5a 10a 1a 2b 1a 2a
     5P  1a 2a 4a 8a 4b 8b 11a 11b 2b 1a  2b 3a 6a 3b 6b
     7P  1a 2a 4a 8a 4b 8b 11b 11a 2b 5a 10a 3a 6a 3b 6b
    11P  1a 2a 4a 8a 4b 8b  1a  1a 2b 5a 10a 3a 6a 3b 6b

X.1       1  1  1  1  1  1   1   1  1  1   1  1  1  1  1
X.2      11  3 -1 -1  3  1   .   . -1  1  -1 -1 -1  2  .
X.3      11  3  3  1 -1 -1   .   . -1  1  -1 -1 -1  2  .
X.4      16  .  .  .  .  .   A  /A  4  1  -1  1  1 -2  .
X.5      16  .  .  .  .  .  /A   A  4  1  -1  1  1 -2  .
X.6      45 -3  1 -1  1 -1   1   1  5  .   .  3 -1  .  .
X.7      54  6  2  .  2  .  -1  -1  6 -1   1  .  .  .  .
X.8      55  7 -1 -1 -1 -1   .   . -5  .   .  1  1  1  1
X.9      55 -1 -1  1  3 -1   .   . -5  .   .  1  1  1 -1
X.10     55 -1  3 -1 -1  1   .   . -5  .   .  1  1  1 -1
X.11     66  2 -2  . -2  .   .   .  6  1   1  .  .  3 -1
X.12     99  3 -1  1 -1  1   .   . -1 -1  -1  3 -1  .  .
X.13    120 -8  .  .  .  .  -1  -1  .  .   .  .  .  3  1
X.14    144  .  .  .  .  .   1   1  4 -1  -1 -3  1  .  .
X.15    176  .  .  .  .  .   .   . -4  1   1 -1 -1 -4  .

A = E(11)^2+E(11)^6+E(11)^7+E(11)^8+E(11)^10
  = (-1-Sqrt(-11))/2 = -1-b11

貼るだけ貼っちゃおう。

gap> Display(CharacterTable(MathieuGroup(24)));
CT3

      2    10  3  1  1   .   .   3  2   .   .   9  3   2   .  5   2  10   1   1  7  3   2   .   .  7  4
      3     3  2  1  1   1   1   3  1   1   1   1  1   .   .  1   1   1   .   .  1  1   1   .   .  .  .
      5     1  .  .  .   .   .   1  1   1   1   1  .   1   .  .   .   .   .   .  .  .   .   .   .  .  .
      7     1  1  1  1   1   1   .  .   .   .   .  .   .   .  .   .   1   1   1  .  .   .   .   .  .  .
     11     1  .  .  .   .   .   .  .   .   .   .  .   .   1  .   .   .   .   .  .  .   .   .   .  .  .
     23     1  .  .  .   .   .   .  .   .   .   .  .   .   .  .   .   .   .   .  .  .   .   1   1  .  .

           1a 3a 7a 7b 21a 21b  3b 5a 15a 15b  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b 14a 14b 4b 6b 12b 23a 23b 4c 8a
     2P    1a 3a 7a 7b 21a 21b  3b 5a 15a 15b  1a 3a  5a 11a 2a  6a  1a  7b  7a 2b 3b  6b 23a 23b 2b 4c
     3P    1a 1a 7b 7a  7a  7b  1a 5a  5a  5a  2a 2a 10a 11a 4a  4a  2b 14b 14a 4b 2b  4b 23a 23b 4c 8a
     5P    1a 3a 7b 7a 21b 21a  3b 1a  3b  3b  2a 6a  2a 11a 4a 12a  2b 14b 14a 4b 6b 12b 23b 23a 4c 8a
     7P    1a 3a 1a 1a  3a  3a  3b 5a 15b 15a  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b  2b  2b 4b 6b 12b 23b 23a 4c 8a
    11P    1a 3a 7a 7b 21a 21b  3b 5a 15b 15a  2a 6a 10a  1a 4a 12a  2b 14a 14b 4b 6b 12b 23b 23a 4c 8a
    13P    1a 3a 7b 7a 21b 21a  3b 5a 15b 15a  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b 14b 14a 4b 6b 12b 23a 23b 4c 8a
    17P    1a 3a 7b 7a 21b 21a  3b 5a 15a 15b  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b 14b 14a 4b 6b 12b 23b 23a 4c 8a
    19P    1a 3a 7b 7a 21b 21a  3b 5a 15a 15b  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b 14b 14a 4b 6b 12b 23b 23a 4c 8a
    23P    1a 3a 7a 7b 21a 21b  3b 5a 15a 15b  2a 6a 10a 11a 4a 12a  2b 14a 14b 4b 6b 12b  1a  1a 4c 8a

X.1         1  1  1  1   1   1   1  1   1   1   1  1   1   1  1   1   1   1   1  1  1   1   1   1  1  1
X.2        23 -1  2  2  -1  -1   5  3   .   .  -1 -1  -1   1 -1  -1   7   .   . -1  1  -1   .   .  3  1
X.3        45  3  A /A  /A   A   .  .   .   .   5 -1   .   1  1   1  -3 -/A  -A -3  .   .  -1  -1  1 -1
X.4        45  3 /A  A   A  /A   .  .   .   .   5 -1   .   1  1   1  -3  -A -/A -3  .   .  -1  -1  1 -1
X.5       231  .  .  .   .   .  -3  1   C  /C  -9  .   1   .  3   .   7   .   . -1  1  -1   1   1 -1 -1
X.6       231  .  .  .   .   .  -3  1  /C   C  -9  .   1   .  3   .   7   .   . -1  1  -1   1   1 -1 -1
X.7       252  .  .  .   .   .   9  2  -1  -1  12  .   2  -1  .   .  28   .   .  4  1   1  -1  -1  4  .
X.8       253  1  1  1   1   1  10  3   .   . -11  1  -1   .  1   1  13  -1  -1 -3 -2   .   .   .  1 -1
X.9       483  .  .  .   .   .   6 -2   1   1   3  .  -2  -1  3   .  35   .   .  3  2   .   .   .  3 -1
X.10      770 -7  .  .   .   .   5  .   .   .  10  1   .   . -2   1 -14   .   .  2  1  -1   D  /D -2  .
X.11      770 -7  .  .   .   .   5  .   .   .  10  1   .   . -2   1 -14   .   .  2  1  -1  /D   D -2  .
X.12      990  3  A /A  /A   A   .  .   .   . -10 -1   .   . -2   1 -18  /A   A  6  .   .   1   1  2  .
X.13      990  3 /A  A   A  /A   .  .   .   . -10 -1   .   . -2   1 -18   A  /A  6  .   .   1   1  2  .
X.14     1035  6 -1 -1  -1  -1   .  .   .   .  35  2   .   1  3   .  27  -1  -1  3  .   .   .   . -1  1
X.15     1035 -3  B /B -/A  -A   .  .   .   .  -5  1   .   1 -1  -1 -21   .   .  3  .   .   .   .  3 -1
X.16     1035 -3 /B  B  -A -/A   .  .   .   .  -5  1   .   1 -1  -1 -21   .   .  3  .   .   .   .  3 -1
X.17     1265  8 -2 -2   1   1   5  .   .   . -15  .   .   . -3   .  49   .   . -7  1  -1   .   .  1  1
X.18     1771  7  .  .   .   .  16  1   1   1  11 -1   1   . -1  -1 -21   .   .  3  .   .   .   . -5 -1
X.19     2024  8  1  1   1   1  -1 -1  -1  -1  24  .  -1   .  .   .   8   1   1  8 -1  -1   .   .  .  .
X.20     2277  6  2  2  -1  -1   . -3   .   . -19  2   1   . -3   .  21   .   . -3  .   .   .   .  1 -1
X.21     3312 -6  1  1   1   1   . -3   .   .  16 -2   1   1  .   .  48  -1  -1  .  .   .   .   .  .  .
X.22     3520 -8 -1 -1  -1  -1  10  .   .   .   .  .   .   .  .   .  64   1   1  . -2   .   1   1  .  .
X.23     5313  .  .  .   .   . -15  3   .   .   9  .  -1   . -3   .  49   .   .  1  1   1   .   . -3 -1
X.24     5544  .  .  .   .   .   9 -1  -1  -1  24  .  -1   .  .   . -56   .   . -8  1   1   1   1  .  .
X.25     5796  .  .  .   .   .  -9  1   1   1  36  .   1  -1  .   . -28   .   . -4 -1  -1   .   .  4  .
X.26    10395  .  .  .   .   .   .  .   .   . -45  .   .   .  3   . -21   .   .  3  .   .  -1  -1 -1  1

A = E(7)^3+E(7)^5+E(7)^6
  = (-1-Sqrt(-7))/2 = -1-b7
B = 2*E(7)^3+2*E(7)^5+2*E(7)^6
  = -1-Sqrt(-7) = -1-i7
C = -E(15)-E(15)^2-E(15)^4-E(15)^8
  = (-1-Sqrt(-15))/2 = -1-b15
D = E(23)^5+E(23)^7+E(23)^10+E(23)^11+E(23)^14+E(23)^15+E(23)^17+E(23)^19+E(23)^20+E(23)^21+E(23)^22
  = (-1-Sqrt(-23))/2 = -1-b23

 今週のシャニマス。桑山千雪さん・園田智代子さんでWING準決勝敗退、月岡恋鐘さんで1次予選敗退。ちゃんとやると楽しいけどこれを平日にこなすのは重いなあと感じるのが完全に毎週の恒例になって久しい。