ビュッフェ、未来の鳥、ミリコレ、S7

 7月16日、晴れ。

活動

 確固たる意志でラボに行かなかった。今日は海の日。
 例年通りの夏バテ傾向で、昨日は三食ともハムとチーズを挟んだ食パンだった。ショック療法を期待してかなんだか分からないがイタリアンのビュッフェにいった。案の定いつものようにたくさんは食べられずもったいない。目の前の板の上をハサミムシが通過するのを眺めた。
 本屋で「BIRDER」という鳥類専門雑誌の8月号を買った。特集「概説 空想鳥類学」、1億年後の鳥類予想が目当て。


 その企画自体は4ページきりだったがおもしろかった。1億年にしてはちょっと保守的すぎる気もするけれど、「こういう鳥が生まれるためにはどういう環境の変化や進化の道筋を辿るべきか」を考察するという割り切りが良い。
 卵生を捨てさせるための考察の中で出てきた「コウテイペンギンは卵生であることを後悔している」の一文が好き。
 そういえば、オウムやインコが器用にくちばしを使う様子を見るたび鳥類が進化上の都合で腕を使えなくなってしまっている事実になんとも残念な気分になる。責任は4足歩行で上陸した最初の魚にまで遡る。脊椎動物(相当の大型化可能な動物)が6(以上)足歩行で上陸した場合のif進化はよく考える。
 ついでに共立出版「数学のかんどころ」シリーズのガロア理論のお本を買った。入門書レベルですらいまだに分かっていないという言語を絶する不勉強。
 夜にそうめんを食べた。なんとなくお昼のイタリアンが恋しくなってケチャップとオリーブオイルをかけた。ケチャップはパスタにかけるようなトマトソースの代用にはならないという例のひとつを見つけた。

ミリ

 ミリコレPr。シアター組のユニット・ソロ楽曲プレイミッションは完了。つむつむ姫が来た。
f:id:shironetsu:20180717015850j:plain:w300
 このメール、涙が出る……。
 LTD 02,04,06着。今聞いている。
 ところで先週LTH09,10を買ったばかりである。「恋の音色ライン」があまりにも好き。二階堂千鶴さんの「実はセレブではない」というキャラクター、ギャグ的に扱われる一方で「自分を偽る葛藤」がときどき痛々しく現れてくるのがすごいと思う。「昏き星、遠い月」コミュを思い出す。箱崎星梨花さんのキャラクターを踏まえたうえでの「トキメキの音符になって」と近い部分がある気がしておりいずれまとめたい。

数学

 MathJaxを設定せずともはてな記法で全部できることを思い出した。
 \begin{gather}\phi^2-\phi-1=0\\ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{gather}
 よし。
 対称群の表現について、少し思いつき。
 7次対称群の既約表現の次元は小さいほうから
 1, 1, 6, 6, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 20, 21, 21, 35, 35
 ヤング図形標準盤数え上げプログラムはなんとか自分で書き上げることができていて8次対称群もすぐに出せる。
 1, 1, 7, 7, 14, 14, 20, 20, 21, 21, 28, 28, 35, 35, 42, 56, 56, 64, 64, 70, 70, 90
 2つの間の重複が気になるがその点はもっと観察を要する。あと14という数。 G_2の次元。
 これは前から気付いていたことだが、n=1,2,4,8(!!)の例外を除いて小さいほうから3つ目の{\mathfrak S}_nの既約表現の次元は(n-1)(n-2)/2-1になるらしい。ヤング図形では
f:id:shironetsu:20180717022643p:plain:w300
に対応。上の辺の長さは(n-2)
 もしかすると一般的に{\mathfrak S}_{(n-1)(n-2)/2}への埋め込みが存在するのではないかという発想が出てくる。実際n=5,6の場合はそうであった。n=3,4も忠実ではないけどそうか。{\mathfrak S}_{(n-1)}なら簡単に{\mathfrak S}_{(n-1)(n-2)/2}に埋め込めて、それは1^{n-2}2型の置換全体に対する共役による作用として実現される。それをもう少し拡張することができるなら……。
 7次対称群の指標表を見てみる。自力で頑張りたいところだがGAPに甘える。

gap> Display(CharacterTable(SymmetricGroup(7)));

出力

CT1

      2  4  4  4  4  3  2  3  1  3  3   2  1   1  1  .
      3  2  1  1  1  2  1  1  2  1  .   1  .   .  1  .
      5  1  1  .  .  .  .  .  .  .  .   .  1   1  .  .
      7  1  .  .  .  .  .  .  .  .  .   .  .   .  .  1

        1a 2a 2b 2c 3a 6a 6b 3b 4a 4b 12a 5a 10a 6c 7a
     2P 1a 1a 1a 1a 3a 3a 3a 3b 2b 2b  6b 5a  5a 3b 7a
     3P 1a 2a 2b 2c 1a 2a 2b 1a 4a 4b  4a 5a 10a 2c 7a
     5P 1a 2a 2b 2c 3a 6a 6b 3b 4a 4b 12a 1a  2a 6c 7a
     7P 1a 2a 2b 2c 3a 6a 6b 3b 4a 4b 12a 5a 10a 6c 1a

X.1      1 -1  1 -1  1 -1  1  1 -1  1  -1  1  -1 -1  1
X.2      6 -4  2  .  3 -1 -1  . -2  .   1  1   1  . -1
X.3     14 -6  2 -2  2  .  2 -1  .  .   . -1  -1  1  .
X.4     14 -4  2  . -1 -1 -1  2  2  .  -1 -1   1  .  .
X.5     15 -5 -1  3  3  1 -1  . -1 -1  -1  .   .  .  1
X.6     35 -5 -1 -1 -1  1 -1 -1  1  1   1  .   . -1  .
X.7     21 -1  1  3 -3 -1  1  .  1 -1   1  1  -1  .  .
X.8     21  1  1 -3 -3  1  1  . -1 -1  -1  1   1  .  .
X.9     20  . -4  .  2  .  2  2  .  .   .  .   .  . -1
X.10    35  5 -1  1 -1 -1 -1 -1 -1  1  -1  .   .  1  .
X.11    14  4  2  . -1  1 -1  2 -2  .   1 -1  -1  .  .
X.12    15  5 -1 -3  3 -1 -1  .  1 -1   1  .   .  .  1
X.13    14  6  2  2  2  .  2 -1  .  .   . -1   1 -1  .
X.14     6  4  2  .  3  1 -1  .  2  .  -1  1  -1  . -1
X.15     1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1  1   1  1  1

細かく見るのはあとにして、X.13はどうもそれっぽい。7次対称群の互換を15次対称群の1^72^4型置換に飛ばすらしい。明日のためのパズルができた。置換の符号倍を無視してもうひとつの14次元表現X.4, X.11はどうも違うみたいだ。G_2の自己同型だったりしたら嬉しい。